La condition est également suffisante

En effet, soit $T^*$ un arbre satisfaisant la condition précédente et $T^0$ un ACM tel que $T^* \neq T^0$. Soit alors $(i,\,j)$ une arête de $T^* \, \backslash \, T^0$. Si l'on supprime $(i,\,j)$ de $T^*$, on crée une coupe $[S, \, \overline{S}]$ telle que $i \, \in \,S$ et $j \, \in \, \overline{S}$. Ajoutons maintenant cette arête $(i,\,j)$ dans $T^0$. Il va alors y avoir création d'un cycle qui contient nécessairement une arête $(k,\,l)$ avec $k \, \in \,S$ et $l \, \in \, \overline{S}$. Or : $$\left\{ \begin{array}{lll} T^* & \text{~Vérifie la conditio... ... ACM, d'où~:~} & c_{kl} \leqslant c_{ij} \end{array} \right.$$ On en déduit immédiatement que $c_{ij} = c_{kl}$. On peut donc remplacer $(i,\,j)$ par $(k,\,l)$ dans $T^*$ sans altérer la propriété ce qui fait qu'à chaque étape $T^*$ et $T^0$ ont un arc commun de plus. On itère alors ce processus jusqu'au moment où $T^*$ et $T^0$ sont identiques.