Démonstration $4 \:\Rightarrow\: 5$

Supposons qu'il existe deux chaînes distinctes permettant de joindre une paire de sommets $(i,\,j)$. Alors, il existe au moins une arête $(k,\,l)$ appartenant à la première chaîne mais pas à la seconde. Supprimons cet arc, il existe encore une chaîne permettant de joindre $i$ à $j$. En outre, si $(i,\,j)$ est relié par une chaîne contenant l'arête $(k,\,l)$, on peut remplacer l'arête par une chaîne pour établir la connexité. Le graphe est toujours connexe après suppression d'un arc ce qui contredit la proposition $4$.