Classes de sixième et cinquième.
Complément de cours.

Notion de multiple.

Cours à compléter. Aucun pré-requis

 

  1. Exemple : les multiples de 7.

Les élèves trouveront très facile ce paragraphe basé sur le principe de la table de multiplication.

Les multiples de 7 sont 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, … etc…

( Ce sont les nombres de la " table " de 7 et les suivants.)

Citez le début de la liste des multiples de 4 :

…………………………………………………………………………………………………...

Citez le début de la liste des multiples de 11 :

…………………………………………………………………………………………………...

Remarque : un nombre et ses multiples sont toujours des nombres entiers.

Les premières fois qu'on demandera aux élèves de trouver le PPCM de deux nombres, on pourra leur faire citer le début des listes de leurs multiples.

  1. Définition générale d’un multiple. (déjà plus formelle)

    Les multiples de 7 s’obtiennent en multipliant 7 par un nombre entier.

    On écrit qu’ils sont de la forme 7 ´ n, où n est un nombre entier.

    Exemples : 700 est un multiple de 7 car 700 = 7 ´ 100.

    350 est un multiple de 7 car 350 = 7 ´ 50

    0 est un multiple de 7 car 0 = 7 ´ 0

    Pour savoir si un nombre est multiple de 7, on pose la division de ce nombre par 7. Si elle tombe juste, c’est bien un multiple de 7.

    Exercice :

    Lesquels parmi les nombres suivants sont des multiples de 7 : 235 ; 392 ; 707 ? Poser les divisions.

     

     

     

    Et lesquels parmi les nombres suivants sont des multiples de 11 : 88 ; 92 ; 101 ; 770 ? Pourquoi ?

    On attend ici des justifications du genre : 88 = 11 * 8, ou 92 = 88 + 4, donc le reste de la division euclidienne de 92 par 11 est 4.

     

     

     

     

    Et lesquels parmi les nombres suivants sont des multiples de 4 : 56 ; 100 ; 131 ; 122 ? Pourquoi ?

     

     

     

     

  1. Certains multiples sont faciles à reconnaître.

Il est probable que les élèves connaissent ces critères de divisibilité depuis l'école primaire.

  1. Multiples reconnaissables à leur terminaison.
  2. Citer le début de la liste des multiples de 2 :

     

    Les multiples de 2 sont tous les nombres pairs, c’est à dire les nombres entiers dont le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8.

    Citer le début de la liste des multiples de 5 :

     

    Les multiples de 5 sont les nombres entiers qui se terminent par 0 ou 5.

     

    Citer le début de la liste des multiples de 10 :

     

    Les multiples de 10 sont les nombres entiers dont le chiffre des unités est 0.

     

    Citer le début de la liste des multiples de 100 :

     

    Les multiples de 100 sont les nombres entiers qui se terminent par deux 0.

    De même, il est facile de reconnaître des multiples de 1 000, 10 000, 100 000 etc…

    Les multiples de 25 se terminent par 00, 25, 50 ou 75

    Les multiples de 50 se terminent par 00 ou 50…

    Seules les règles en caractères gras sont à retenir.

  3. Une astuce particulière permet de reconnaître les multiples de 3 et de 9.

Exemple : 234 est un multiple de 3 car 2 + 3 + 4 = 9, et 9 est dans la table de 3.

234 est un multiple de 9 car 2 + 3 + 4 = 9, et 9 est dans la table de 9.

114 est un multiple de 3 car 1 + 1 + 4 = 6, et 6 est dans la table de 2.

114 n’est pas un multiple de 9 car 1 + 1 + 4 = 6, et 6 n’est pas dans la table de 9.

88 n’est ni un multiple de 3, ni un multiple de 9 car 8 + 8 = 16, et 16 n’est pas dans la table de 3 ni dans celle de 9.

Attention : cette astuce ne fonctionne que pour les multiples de 3 et de 9.

Les élèves, une fois qu'ils l'ont comprise, ont une fâcheuse tendance à généraliser cette technique aux multiples de n'importe quel nombre..

Compléter le tableau suivant :

Nombre

Calcul

Est un multiple de 3 ?

Est un multiple de 9 ?

2 658

2 + 6 + 5 + 8 = 21

oui

non

7 074

     

636

     

2 431

     

 

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