Classe de 5°, Triangles, leçon 5 :
Somme des angles d'un triangle.

Triangles quelconques et particuliers.

Pré-requis :
Nommer et mesurer un angle
Tracer 'un triangle de mesures données.
Tracer la parallèle à un segment passant par un point.
Tracer un triangle dont on connaît un ou deux angles et des côtés.
Angles alternes-internes.
Bissectrices d'un triangle.

I- Somme des angles d'un triangle.

1- Additionnons les mesures des angles d'un triangle.

Tracer un triangle ABC tel que
AB = 2cm, AC = 2,5 cm et BC = 4cm.

Mesurer les angles en degrés :

ABC1.gif (318 octets)

(on doit trouver 118,2°, 34,7° et 27,1°)

Calculer la somme des trois angles du triangle :
ABC2.gif (261 octets)

ABC3.gif (1070 octets)

Maintenant essayez chacun de tracer un triangle ABC de votre choix dont la somme des angles soit supérieure au résultat trouvé dans le premier exemple. (Chaque élève trace ici un triangle dans son cours)

Triangle de A.gif (73 octets) B.gif (77 octets) C.gif (71 octets) ABC4.gif (193 octets)
Aurélie        
Mathieu        
Cédric        
Yohann        
Jennifer        
Stéphanie        

 

 

Ceci est un exemple de tableau : dans les cases vides, on met les résultats trouvés par les élèves, afin qu'ils constatent, lorsqu'ils ne se sont pas trompés dans les mesures, qu'ils trouvent toujours sensiblement la même chose dans la cinquième colonne. Le tableau est bien sûr à recopier dans le cours.

On constate que, pour tous les triangles différents que vous avez tracés, la somme des angles ABC4.gif (193 octets) tourne autour de 180°. Expliquons pourquoi.

 

2- Démonstration.

 

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle quelconque, et D la parallèle à (BC) qui passe par A.

1- Les angles bleus ont même mesure car ils sont alternes-internes (les droites (BC) et D étant parallèles).

2- De même, les angles verts ont même mesure car ils sont alternes-internes.

3- On remarque que la somme des angles bleu + rouge + vert forme un angle plat en A, puisque D est une droite. Donc angle bleu + angle rouge + angle vert = 180°.

4- D'après les égalités d'angles constatées en 1 et 2, on peut déduire que ABC4.gif (193 octets) = 180°.

ABC5.gif (1470 octets)

 

(Faire des gestes au tableau pour faire comprendre quels angles sont additionnés dans les deux cas).

Cette démonstration étant valable quel que soit le triangle tracé, on retient : La somme des angles d'un triangle vaut 180°.

 

II- Triangles particuliers, triangle quelconque.

1- Triangle isocèle.

Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

Tracer un triangle ISO isocèle de sommet principal I (ça veut dire que les deux côtés égaux sont IS et IO)

Par symétrie, les angles S.gif (71 octets) et O.gif (80 octets) ont même mesure.

Que vaudrait I.gif (62 octets) si S.gif (71 octets) valait 70° ? Faire un calcul.

....

Que vaudrait S.gif (71 octets) si I.gif (62 octets) valait 30° ? Faire un calcul.

.....

ISO.gif (818 octets)

 

2- Triangle équilatéral.

Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.

Tracer un triangle équilatéral EQU.

Les trois angles E.gif (74 octets), Q.gif (83 octets) et U.gif (75 octets) ont même mesure, laquelle ? Faire un calcul.

....

Comme la somme des trois angles de ce triangle doit faire 180° et que les trois angles ont même mesure, chacun d'eux mesure 180°:3 soit 60°.

EQU.gif (939 octets)

Conclusion : Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.

 

3- Triangle rectangle.

Définition : Un triangle restangle est un triangle qui a un angle droit.

Tracer un triangle REC rectangle en R.

A savoir : dire que le triangle est rectangle en R signifie que c'est R.gif (67 octets) l'angle droit.

Remarque : dans un triangle rectangle, le côté le plus grand est toujours le côté opposé à l'angle droit. On l'appelle l'hypoténuse. Ici, l'hypoténuse est le côté [EC].

REC.gif (789 octets)

Question : si l'angle C.gif (71 octets) mesurait 30°, combien mesurerait l'angle E.gif (74 octets) ? Ecrire votre calcul.

CalculE.gif (640 octets)

Remarque : dans tous les cas de figure, la somme des angles C.gif (71 octets) et E.gif (74 octets) est de 90° ( puisque R.gif (67 octets)+C.gif (71 octets)+E.gif (74 octets) = 180° avec R.gif (67 octets) = 90°). Les angles C.gif (71 octets) et E.gif (74 octets) sont donc complémentaires.

4- Triangle rectangle-isocèle.

Un triangle rectangle-isocèle est à la fois rectangle et isocèle, ce qui signifie qu'il a à la fois un angle droit et deux côtés de même longueur.

Tracer un triangle rectangle-isocèle de sommet principal R.
(On peut le tracer au tableau avant les élèves pour gagner du temps, ou alors choisir de laisser les élèves faire des essais eux-même pour constater la remarque suivante.)

Remarques : Le sommet principal correspond à l'angle droit.

RIS.gif (935 octets)

En effet, comme [IS], l'hypoténuse, doit être le côté le plus grand, ce sont les côtés [RI] et [RS] qui ont même longueur (plus petite).

Calculer les angles I.gif (62 octets) et S.gif (71 octets), en vous souvenant qu'ils ont même mesure, puisque le triangle est isocèle de sommet principal R. Ecrire votre calcul.

 

5- Triangle quelconque.

C'est un triangle qui n'a ni côtés égaux, ni angle droit. Lorsqu'un énoncé vous demande de tracer un triangle sans autres précisions, tracez un triangle quelconque pour éviter de constater des propriétés qui ne seraient vraies que dans des cas particuliers.

Pour calculer un angle dans un triangle quelconque, on a besoin de connaître les deux autres.

Par exemple, tracez un triangle QUE tel que UE = 5cm,
U.gif (75 octets) = 40° et E.gif (74 octets) = 60°. Calculez la mesure de l'angle Q.gif (83 octets).
Q.gif (83 octets) = 180° - 40° - 60°
wpe4.jpg (836 octets) = 80°

QUE.gif (956 octets)

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