Classe de 5°, Triangles,
leçon 4 :
Bissectrice d'un angle, bissectrices d'un triangle.
Pré-requis :
Tracés de triangles de mesures données.
Tracé d'un angle aigu ou obtus de mesure donnée.
Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.
Tangence d'un cercle et d'une droite
Les notions de distance à une droite et de
cercle inscrit sont peut-être hors-programme et peuvent être éludées.
I- Bissectrice d'un angle.
Définition : La bissectrice d'un angle est la droite ou la
demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
1- Comment construire la bissectrice d'un angle ?
Tracer un angle  de 60°.Etape 1 :
Choisir une ouverture de compas et placer deux points M et M' a égale distance de A
sur chacune des demi-droites [Ax) et [Ay)
(voir figure 1 : on trace un arc de centre A qui coupe [Ax) et [Ay) en M et M'.) |
Figure 1 |
| Etape 2 : Placer un point B à l'intérieur de l'angle à égale
distance de M et de M' .
(sur la figure 2, on a tracé deux cercles de même rayon, centrés en M et M'.
Ils se coupent en A et B) |
Figure 2 |
| Etape 3 : On trace la droite (AB) ou la demi-droite [AB).
C'est la bissectrice de l'angle .
Elle sépare l'angle
en deux angles  et  de même mesure (30°,
vous pouvez le vérifier).
C'est la bissectrice de l'angle . |
Figure 3 |
Application : Tracer un angle 
de 110° et sa
bissectrice.
Avec un angle obtus, il peut arriver que
l'élève ait plus de difficultés à tracer la bissectrice. Il peut être nécessaire
d'entraîner les élèves à tracer des bissectrices sur de nombreux exemples avant de
passer à la suite du cours.
2- Propriété des points de la bissectrice. (Facultatif)
Tracer un angle  quelconque et sa bissectrice.
Placer un point P sur cette bissectrice.
Tracer la perpendiculaire à [Ox) qui passe par P. Elle coupe [Ox) en H.
Tracer la perpendiculaire à [Oy) qui passe par P. Elle coupe [Oy) en H'.
Mesurer les distances PH et PH'.Il est ici intéressant de
tracer un tableau à deux colonnes : PH et PH', et de demander à plusieurs élèves leurs
résultats, afin qu'ils constatent que, quel que soit le cas de figure, leurs mesures pour
PH et PH' sont à peu près identiques. |
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Dans tous les cas de figure, on a PH = PH'.
Tous les points de la bissectrice se trouvent donc à égale distance des deux côtés de
l'angle.
On admet que : La bissectrice d'un angle est l'ensemble des points
équidistants des deux côtés de cet angle.
II- Bissectrices d'un triangle. Cercle inscrit.
Tracer un triangle ABC tel que :
AB = 8,5 cm, AC = 10 cm et BC = 6 cm.
(Il est nécessaire de tracer un "grand" triangle)
Tracer en rouge les bissectrices des angles  ,  et  .
Les trois bissectrices du triangle se coupent en un point O qui est à
égale distance des droites (AC), (AB) et (BC).
On l'appelle centre du cercle inscrit au triangle, car on peut tracer
un cercle de centre O tangent aux trois côtés du triangle.
Facultativement, on peut expliquer aux élèves le tracé du
cercle inscrit. |
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